Devoir surveillé N°1 (1h40)

Date : samedi 03 octobre 2026
Classe : TSI$^{1}$ (Lycée Artaud)

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.

La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Exercice I (4 points - 5 min)

Dans un repère orthonormé $\mathcal{R}=(O,\vec\imath,\vec\jmath)$, on considère les points $A(-1,2)$, $B(3,4)$, et $C(5,6)$.

Q1. Déterminer les coordonnées du barycentre $G$ des points $(A,1)$, $(B,2)$ et $(C,3)$ et faire un schéma représentant la situation.

Réponse :

\[x_G = \dfrac{1\times(-1)+2\times3+3\times5}{1+2+3} = \dfrac{-1+6+15}{6} = \dfrac{20}{6} = \dfrac{10}{3}\]

\[y_G = \dfrac{1\times2+2\times4+3\times6}{1+2+3} = \dfrac{2+8+18}{6} = \dfrac{28}{6} = \dfrac{14}{3}\]

Ainsi, $\boxed{G\left(10/3; 14/3\right)}$. Faire le dessin...

Q2. Déterminer le lieu des points $M$ tels que $2||\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}|| = ||12\overrightarrow{MA}||$ et compléter le schéma précédent pour représenter la situation.

Réponse :

D'après la formule fondamentale, on a $\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} = 6\overrightarrow{MG}$, donc la rfelation donnée se réécrit :

\[2||6\overrightarrow{MG}|| = ||12\overrightarrow{MA}|| \iff ||\overrightarrow{MG}|| = ||\overrightarrow{MA}||\]

Ainsi le lieu des points $M$ est la médiatrice du segment $[AG]$. Faire le dessin...

Exercice I (14 points - 30 min)

Dans cet exercice, on munit le plan d'une base $\mathcal{B}=\{\vec{\imath},\vec{\jmath}\}$ et d'un repère $\mathcal{R}=(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$.

Partie 1 (questions de cours)

Q3. La notation $\vec{u} \binom{x}{y}_{\mathcal{B}}$ signifie que les coordonnées du vecteur $\vec{u}$ dans la base $\mathcal{B}$ sont $x$ et $y$. Par quelle égalité vectorielle se traduit cette notation ?

Réponse :

\[ \vec{u} = x\vec{\imath} + y\vec{\jmath} \]

Q4. La notation $A(x,y)_{\mathcal{R}}$ signifie que les coordonnées du point $A$ dans le repère $\mathcal{R}$ sont $x$ et $y$. Par quelle égalité vectorielle se traduit cette notation ?

Réponse :

\[ \overrightarrow{OA} = x\vec{\imath} + y\vec{\jmath} \]

Partie 2 (Changement de bases)

On considère deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dont les coordonnées dans la base $\mathcal{B}$ sont respectivement : $\vec{u} \binom{1}{2}_{\mathcal{B}}$ et $\vec{v} \binom{-2}{3}_{\mathcal{B}}$.

Q5. Quelles sont les coordonnées de $\vec{w}=2\vec{u} -\vec{v}$ dans la base $\mathcal{B}$ ?

Réponse :

Dans la base $\mathcal{B}$, on obtient les coordonnées de $\vec{w}$ par le calcul suivant :

\[ 2\binom{1}{2} - 1\binom{-2}{3} = \binom{2}{4} - \binom{-2}{3} = \binom{4}{1} \]

Ainsi $\vec{w} \binom{4}{1}_{\mathcal{B}}$.

Q6. Faire un schéma représentant les vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ dans le repère $\mathcal{R}$ (On prendra pour $\mathcal{R}$, un repère orthonormé où 1 carreau = 1 unité).

Réponse :

$Schéma représentant les vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ dans le repère $\mathcal{R}$$

Q7. Pourquoi peut-on dire que la famille $\mathcal{B}'\{\vec{u},\vec{v}\}$ est une base ?

Réponse :

Cette famille est une base car les deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles).

Q8. On considère ensuite le vecteur $\overrightarrow{w_1}$ dont les coordonnées dans la base $\mathcal{B}'=\{\vec{u},\vec{v}\}$ sont : $\overrightarrow{w_1}\binom{1}{-2}_{\mathcal{B}'}$.
Déterminer les coordonnées de $\overrightarrow{w_1}$ dans la base $\mathcal{B}=\{\vec{\imath},\vec{\jmath}\}$.

Réponse :

En passant aux coordonnées dans la base $\mathcal{B}$ on obtient :

\[ \binom{1}{2} - 2\binom{-2}{3} = \binom{5}{-4} \]

Ainsi $\boxed{\overrightarrow{w_1}\binom{5}{-4}_{\mathcal{B}}}$.

Q9. Exprimer les vecteurs $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Réponse :

On a le système suivant qu'il s'agit d'inverser :

\[ \begin{cases} \vec u = \vec{\imath} + 2\vec{\jmath} \\ \vec v = -2\vec{\imath}+3\vec{\jmath} \end{cases} \]

En faisant $2(L_1)+L_2$, on obtient $2\vec{u}+\vec{v}=7\vec{\jmath}$, soit

\[\boxed{\vec{\jmath}=\dfrac{2}{7}\vec{u}+\dfrac{1}{7}\vec{v}}\]

Puis en faisant $3(L_1)-2(L_2)$, on obtient $3\vec{u}-2\vec{v}=7\vec{\imath}$, soit

\[\boxed{\vec{\imath}=\dfrac{3}{7}\vec{u}-\dfrac{2}{7}\vec{v}}\]

Q10. On considère le vecteur $\overrightarrow{w_2}$ dont ses coordonnées dans la base $\mathcal{B}$ sont : $\overrightarrow{w_2} \binom{-2}{1}_{\mathcal{B}}$.
Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{w_2}$ dans la base $\mathcal{B}'$.

Réponse :

En utilisant les expressions de $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on obtient :

\[ \overrightarrow{w_2} = -2\vec{\imath} + 1\vec{\jmath} = -2\left(\dfrac{3}{7}\vec{u}-\dfrac{2}{7}\vec{v}\right) + 1\left(\dfrac{2}{7}\vec{u}+\dfrac{1}{7}\vec{v}\right) \]

En simplifiant, on obtient :

\[ \overrightarrow{w_2} = \left(-\dfrac{6}{7} + \dfrac{2}{7}\right)\vec{u} + \left(\dfrac{4}{7} + \dfrac{1}{7}\right)\vec{v} = -\dfrac{4}{7}\vec{u} + \dfrac{5}{7}\vec{v} \]

Ainsi $\boxed{\overrightarrow{w_2} \binom{-4/7}{5/7}_{\mathcal{B}'}}$.

Q11. On considère enfin les points $A$ et $B$ dont les coordonnées dans le repère $\mathcal{R}$ sont : $A(1,2)_{\mathcal{R}}$ et $B(3,4)_{\mathcal{R}}$.
Déterminer les coordonnées du point $B$ dans le repère $\mathcal{R}'=(A,\vec{u},\vec{v})$.

Réponse :

On a $\overrightarrow{OA} = \vec \imath + 2\vec \jmath$ et $\overrightarrow{OB} = 3\vec \imath + 4\vec \jmath$.

On veut $\overrightarrow{AB}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

On obtient avec Chasles :

\[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB} = 2\vec \imath + 2\vec \jmath \]

On remplace ensuite $\vec \imath$ et $\vec \jmath$ par leurs expressions :

\[ \overrightarrow{AB} = 2\left(\dfrac{3}{7}\vec{u}-\dfrac{2}{7}\vec{v}\right) + 2\left(\dfrac{2}{7}\vec{u}+\dfrac{1}{7}\vec{v}\right) \]

En simplifiant, on obtient :

\[ \overrightarrow{AB} = \left(\dfrac{6}{7} + \dfrac{4}{7}\right)\vec{u} + \left(-\dfrac{4}{7} + \dfrac{2}{7}\right)\vec{v} = \dfrac{10}{7}\vec{u} - \dfrac{2}{7}\vec{v} \]

Ainsi les coordonnées du point $B$ dans le repère $\mathcal{R}'$ sont :

\[ \boxed{\binom{10/7}{-2/7}_{\mathcal{R}'}} \]

Exercice II (9 points - 20 min)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=3x^2-3x-6$.

Attention : dans l'énoncé que vous avez reçu, une coquille s'est glissée, le coefficient du terme en $x^2$ était $6$ et non pas $3$ comme prévu au départ, du coup les calculs ne sa passaient pas aussi bien. Le barème a été ajusté en conséquence.

Q12. Déterminer par la méthode de votre choix la forme canonique de $f$.

Réponse :

Si on passe par les factorisations, on obtient :

\[ f(x)= 3\left( x^2-x-2 \right) = 3\left[\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}-2\right]\]

Donc

\[ \boxed{f(x) = 3\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{27}{4}} = a\left(x-\alpha\right)^2+\beta \]

Q13. Déterminer par la méthode de votre choix les coordonnées du sommet de la parabole représentative de $f$.

Réponse :

Le sommet de la parabole représentative de $f$ est le point $S(\alpha,\beta)$, soit :

\[ S\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{27}{4}\right) \]

Q14. Déterminer par la méthode de votre choix la forme factorisée de $f$.

Réponse :

On a déjà factorisé une partie de $f(x)= 3\left( x^2-x-2 \right)$.

On cherche alors les racines pour terminer la factorisation. On commence par calculer le discriminant $\Delta$ :

\[ \Delta = b^2-4ac = 1^2-4\times 1\times (-2) = 1+8=9 \]

Ainsi $\Delta>0$, donc $f$ admet deux racines réelles distinctes, que l'on note $x_1$ et $x_2$ :

\[ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1-3}{2\times 1}=\dfrac{-2}{2}=-1 \quad\text{et}\quad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1+3}{2\times 1}=\dfrac{4}{2}=2 \]

Ainsi la forme factorisée de $f$ est :

\[ f(x)=3(x-x_1)(x-x_2) = \boxed{3(x+1)(x-2)} \]

Q15. Déterminer par la méthode de votre choix les solutions de l'inéquation $f(x)\leqslant 0$.

Réponse :

Comme $f$ est une fonction polynomiale du second degré, on sait que le signe de $f$ est celui de $a=3>0$ à l'extérieur des racines et de signe opposé à l'intérieur des racines. Ainsi :

\[ \boxed{S=\left[-1;2\right]} \]

Q16. Déterminer par la méthode de votre choix les solutions de l'équation $f(x)=-6$.

Réponse :

\[ f(x)=-6 \iff 3x^2-3x-6=-6 \iff 3x^2-3x=0 \iff 3x(x-1)=0 \]

Ainsi les solutions sont $x_1=0$ et $x_2=1$, soit :

\[ \boxed{S=\left\{0;1\right\}} \]

Q17. Faire un rapide croquis de la parabole représentative de $f$.

Réponse :

$Croquis de la parabole représentative de $f$$

Exercice III (12 points - 30 min)

Résoudre soigneusement les (in)équations suivantes :

Q18. $\dfrac{2x-1}{2-x}<2$

Réponse :

On commence par déterminer le domaine de définition de l'inéquation, soit $x\neq 2$.
Ensuite on met tous les termes du même côté de l'inéquation :

\[ \dfrac{2x-1}{2-x}-2\leqslant 0 \iff \dfrac{2x-1-2(2-x)}{2-x}<0 \iff \dfrac{4x-5}{2-x}<0 \]

On détermine ensuite le signe du numérateur et du dénominateur :

Numérateur : $4x-5=0 \iff x=\dfrac{5}{4}$
Dénominateur : $2-x=0 \iff x=2$

Ainsi on obtient le tableau de signes suivant :

$x$		$\dfrac{5}{4}$		$2$
$4x-5$	-	0	+		+
$2-x$	+		+	0	-
$\dfrac{4x-5}{2-x}$	-	0	+	X	-

Ainsi les solutions de l'inéquation sont :

\[ \boxed{S=\left]-\infty;\dfrac{5}{4}\right] \cup \left]2;+\infty\right[} \]

Q19. $|2x+3|<5$

Réponse :

On peut utiliser les « raccourci » du cours :

\[ |2x+3|<5 \iff -5<2x+3<5 \iff -8<2x<2 \iff \boxed{-4<x<1} \]

Q20. $|x-1|+|3x-2|>2$

Réponse :

On commence par déterminer les signes des expressions à l'intérieur des valeurs absolues :

$x-1>0 \iff x>1$
$3x-2>0 \iff x>\dfrac{2}{3}$

Ainsi on a trois intervalles à considérer : $\left]-\infty;\dfrac{2}{3}\right]$, $\left[\dfrac{2}{3};1\right]$ et $\left[1;+\infty\right[$.

Sur l'intervalle $]-\infty;\dfrac{2}{3}]$, on a $x-1<0$ et $3x-2<0$, donc l'inéquation devient :

\[ -(x-1)-(3x-2)>2 \iff -4x+3>2 \iff -4x>-1 \iff x<\dfrac{1}{4} \]

Ainsi sur cet intervalle, les solutions sont $S_1=\left]-\infty;\dfrac{1}{4}\right[$.
Sur l'intervalle $[\dfrac{2}{3};1]$, on a $x-1<0$ et $3x-2>0$, donc l'inéquation devient :

\[ -(x-1)+(3x-2)>2 \iff 2x-1>2 \iff 2x>3 \iff x>\dfrac{3}{2} \]

Mais $\dfrac{3}{2}>1$, donc il n'y a pas de solution sur cet intervalle, soit $S_2=\varnothing$.
Sur l'intervalle $[1;+\infty[$, on a $x-1>0$ et $3x-2>0$, donc l'inéquation devient :

\[ (x-1)+(3x-2)>2 \iff 4x-3>2 \iff 4x>5 \iff x>\dfrac{5}{4} \]

Ainsi sur cet intervalle, les solutions sont $S_3=\left]\dfrac{5}{4};+\infty\right[$.

En combinant les trois intervalles, on obtient l'ensemble des solutions de l'inéquation :

\[ \boxed{S=\left]-\infty;\dfrac{1}{4}\right[ \cup \left]\dfrac{5}{4};+\infty\right[} \]

Q21. $\left|2-\dfrac{1}{x}\right|>1$

Réponse :

On précise que $x\neq 0$ pour que l'inéquation soit définie.

Il y plusieurs méthodes pour résoudre cette inéquation. La plus rapide ici est probablement d'élever l'inégalité au carré, puisque les deux membres sont positifs. On obtient alors :

\[ \left(2-\dfrac{1}{x}\right)^2>1^2 \iff 4-\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{x^2}>1 \iff \dfrac{1}{x^2}-\dfrac{4}{x}+3>0 \]

En multipliant par $x^2$ (qui est positif), on obtient :

\[ 1-4x+3x^2>0 \iff 3x^2-4x+1>0 \]

On calcule le discriminant $\Delta$ :

\[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \]

Ainsi les racines sont :

\[ x_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3} \quad\text{et}\quad x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = 1 \]

Le coefficient de $x^2$ est positif, donc l'expression est positive en dehors des racines (on n'oublie pas que $x\neq 0$). Ainsi l'ensemble des solutions est :

\[ \boxed{S=\left]-\infty;0\right[ \cup \left]0;\dfrac{1}{3}\right[ \cup \left]1;+\infty\right[} \]

Exercice IV (8 points - 20 min)

L'objectif de cet exercice est de résoudre soigneusement l'inéquation $(I_1)$ suivante :

\[ \dfrac{1}{2}x+1 < \sqrt{x^2+x-2} \qquad (I_1) \]

Q22. Justifier que l'inégalité $(I_1)$ n'existe que pour $x\in \mathcal{D}_f = ]-\infty ; -2] \cup [1 ; +\infty[$.

Réponse :

L'inégalité $(I_1)$ n'existe que si le membre de droite est défini, c'est-à-dire si $x^2+x-2\geqslant 0$.
On résout donc l'équation $x^2+x-2=0$ :

\[ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

Ainsi les racines sont :

\[ x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \quad\text{et}\quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \]

Comme le coefficient de $x^2$ est positif, l'expression $x^2+x-2$ est positive à l'extérieur des racines. Ainsi l'ensemble de définition est :

\[ \boxed{\mathcal{D}_f = ]-\infty ; -2] \cup [1 ; +\infty[} \]

Q23. Déterminer le signe de $\dfrac{1}{2}x+1$ lorsque $x\leqslant -2$ puis en déduire les solutions de l'inéquation $(I_1)$ sur l'intervalle $]-\infty ; -2]$.

Réponse :

On a $x\leqslant -2 \implies \dfrac{1}{2}x+1 \leqslant \dfrac{1}{2}(-2)+1 \implies \dfrac{1}{2}x+1 \leqslant 0$.

Sur l'intervalle $]-\infty ; -2]$, le membre de gauche est donc négatif ou nul, tandis que le membre de droite est positif ou nul. Ainsi quelle que soit la valeur de $x$ dans cet intervalle, $(I_1)$ est toujours vérifiée sauf pour $x=-2$, puisqu'il y a égalité dans ce cas. On déduit que les solutions de l'inéquation $(I_1)$ sur l'intervalle $]-\infty ; -2]$ sont :

\[ \boxed{S_1 = ]-\infty;-2[} \]

Q24. Résoudre ensuite soigneusement l'inéquation $(I_1)$ sur l'intervalle $[1 ; +\infty[$.

Réponse :

Sur l'intervalle $[1 ; +\infty[$, puisque tout est positif, on peut élever les deux membres de l'inéquation au carré :

\[ \left(\dfrac{1}{2}x+1\right)^2 < x^2+x-2 \]

En développant le membre de gauche, on obtient :

\[ \dfrac{1}{4}x^2+x+1 < x^2+x-2 \]

En simplifiant, on obtient :

\[ 0 < \dfrac{3}{4}x^2 - 3 \iff x^2>4 \]

Avec le « raccourci » du cours, on obtient les solutions :

\[ x^2>4 \iff x\in\left]-\infty;-2\right[ \cup \left]2;+\infty\right[ \]

Or ici $x\in[1 ; +\infty[$, donc on ne garde que la partie de l'intervalle qui est dans $[1 ; +\infty[$, soit :

\[ \boxed{S_2 = \left]2;+\infty\right[} \]

Q25. Conclure sur l'ensemble des solutions de l'inéquation $(I_1)$.

Réponse :

En combinant les deux intervalles de solutions, on obtient l'ensemble des solutions de l'inéquation $(I_1)$ :

\[ \boxed{S = ]-\infty;-2[ \cup \left]2;+\infty\right[} \]

Hors barème

Les deux questions suivantes sont facultatives mais peuvent rapporter des points bonus.

Q26. Résoudre soigneusement $\Big|\ln\left|x-3\right|\Big|=1$.

Réponse :

On commence par déterminer le domaine de définition de l'équation, soit $x\neq 3$.
Ensuite on peut utiliser la propriété suivante : $\Big|\ln\left|x-3\right|\Big|=1 \iff \ln\left|x-3\right|=1 \text{ ou } \ln\left|x-3\right|=-1$.

Pour $\ln\left|x-3\right|=1$, on obtient :

\[ \left|x-3\right| = e^1 = e\]

Ainsi $x-3=e$ ou $x-3=-e$, soit $x=3+e$ ou $x=3-e$.
Pour $\ln\left|x-3\right|=-1$, on obtient :

\[ \left|x-3\right| = e^{-1} = \dfrac{1}{e} \]

Ainsi $x-3=\dfrac{1}{e}$ ou $x-3=-\dfrac{1}{e}$, soit $x=3+\dfrac{1}{e}$ ou $x=3-\dfrac{1}{e}$.

En combinant les deux parties, on obtient l'ensemble des 4 solutions de l'équation :

\[ \boxed{S = \left\{ 3-e, 3+e, 3-\dfrac{1}{e}, 3+\dfrac{1}{e} \right\}} \]

\(x\)		\(\dfrac{5}{4}\)		\(2\)
\(4x-5\)	-	0	+		+
\(2-x\)	+		+	0	-
\(\dfrac{4x-5}{2-x}\)	-	0	+	X	-